Kai kurios operacijų su matricomis savybės.
Matricos išraiškos

O dabar bus temos tęsinys, kuriame apsvarstysime ne tik naują medžiagą, bet ir parengsime veiksmus su matricomis.

Kai kurios operacijų su matricomis savybės

Toje pačioje Vikipedijoje galite pasigrožėti tvarkingomis atitinkamų taisyklių eilėmis. Tačiau praktiškai daugelis savybių tam tikra prasme yra „negyvos“, nes tik kelios iš jų naudojamos sprendžiant tikras problemas. Mano tikslas yra pažvelgti į praktinį savybių pritaikymą su konkrečiais pavyzdžiais ir, jei jums reikia griežtos teorijos, naudokite kitą informacijos šaltinį.

Pažvelkime į kai kurias taisyklės išimtis, kurių reikės norint atlikti praktines užduotis.

Jei kvadratinė matrica turi atvirkštinę matricą, tada jų daugyba yra komutacinė:

Tapatybės matrica yra kvadratinė matrica, kurios pagrindinė įstrižainė vienetai yra išdėstyti, o likę elementai yra lygūs nuliui. Pavyzdžiui: ir kt.

Šiuo atveju teisinga ši savybė: jei savavališka matrica kairėje arba dešinėje padauginama iš tinkamo dydžio tapatybės matricos, rezultatas yra pradinė matrica:

Kaip matote, čia taip pat vyksta matricos daugybos komutatyvumas.

Paimkime matricą, tarkime, matricą iš ankstesnės problemos: .

Besidomintys gali patikrinti ir įsitikinti, kad:

Matricų vienetų matrica yra skaitinio skaičių vieneto analogas, kas ypač aiškiai matyti iš ką tik aptartų pavyzdžių.

Skaitinio koeficiento komutaciškumas matricos daugybos atžvilgiu

Matricoms ir realiesiems skaičiams galioja ši savybė:

Tai yra, skaitinį koeficientą galima (ir turėtų) perkelti į priekį, kad jis „nekliudytų“ dauginti matricas.

Pastaba : paprastai kalbant, savybės formuluotė yra neišsami - „lambda“ gali būti dedama bet kur tarp matricų, net ir pabaigoje. Taisyklė lieka galioti, jei padauginamos trys ar daugiau matricų.

4 pavyzdys

Apskaičiuokite produktą

Sprendimas:

(1) Pagal nuosavybę perkelkite skaitinį koeficientą į priekį. Pačių matricų negalima pertvarkyti!

(2) – (3) Atlikite matricos dauginimą.

(4) Čia galite padalyti kiekvieną skaičių iš 10, bet tada tarp matricos elementų atsiras dešimtainės trupmenos, o tai nėra gerai. Tačiau pastebime, kad visi matricos skaičiai dalijasi iš 5, todėl kiekvieną elementą padauginame iš .

Atsakymas :

Šiek tiek šaradų, kuriuos galite išspręsti patys:

5 pavyzdys

Apskaičiuokite, jei

Sprendimas ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Kokia technika svarbi sprendžiant tokius pavyzdžius? Išsiaiškinkime skaičius Paskutinis iš visų .

Prie lokomotyvo pritvirtinkime kitą vagoną:

Kaip padauginti tris matricas?

Visų pirma, KOKS turėtų būti trijų matricų padauginimo rezultatas? Katė nepagimdys pelės. Jei matricos daugyba yra įmanoma, tada rezultatas taip pat bus matrica. Hmm, mano algebros mokytojas nesupranta, kaip aš paaiškinu algebrinės struktūros uždarumą jos elementų atžvilgiu =)

Trijų matricų sandaugą galima apskaičiuoti dviem būdais:

1) suraskite ir padauginkite iš matricos „ce“: ;

2) arba pirmiausia suraskite , tada padauginkite .

Rezultatai tikrai sutaps, ir teoriškai ši savybė vadinama matricos daugybos asociatyvumu:

6 pavyzdys

Padauginkite matricas dviem būdais

Sprendimo algoritmas yra dviejų žingsnių: randame dviejų matricų sandaugą, tada vėl randame dviejų matricų sandaugą.

1) Naudokite formulę

Pirmas veiksmas:

Antras veiksmas:

2) Naudokite formulę

Pirmas veiksmas:

Antras veiksmas:

Atsakymas :

Pirmasis sprendimas, žinoma, yra labiau pažįstamas ir standartinis, kai „atrodo, kad viskas tvarkoje“. Beje, dėl užsakymo. Nagrinėjamoje užduotyje dažnai kyla iliuzija, kad kalbame apie kažkokias matricų permutacijas. Jų čia nėra. Dar kartą primenu, kad bendru atveju MATRIKŲ ATSKIRTI NEĮMANOMA. Taigi, antroje pastraipoje, antrame žingsnyje, atliekame daugybą, bet jokiu būdu ne. Su paprastais skaičiais toks skaičius tiktų, bet su matricomis – ne.

Asociatyvaus dauginimo savybė galioja ne tik kvadratinėms, bet ir savavališkoms matricoms – tol, kol jos dauginamos:

7 pavyzdys

Raskite trijų matricų sandaugą

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Pavyzdiniame sprendime skaičiavimai atliekami dviem būdais, analizuojama, kuris kelias yra pelningesnis ir trumpesnis.

Matricos daugybos asociatyvumo savybė galioja ir didesniam skaičiui faktorių.

Dabar laikas grįžti prie matricų galių. Matricos kvadratas svarstomas pačioje pradžioje, o darbotvarkės klausimas:

Kaip kubuoti matricą ir aukštesnes galias?

Šios operacijos taip pat apibrėžiamos tik kvadratinėms matricoms. Norėdami kubuoti kvadratinę matricą, turite apskaičiuoti sandaugą:

Tiesą sakant, tai yra ypatingas trijų matricų dauginimo atvejis, atsižvelgiant į matricos daugybos asociatyvumo savybę: . O matrica, padauginta iš savęs, yra matricos kvadratas:

Taigi gauname darbo formulę:

Tai reiškia, kad užduotis atliekama dviem etapais: pirmiausia reikia padalyti matricą kvadratu, o tada gautą matricą padauginti iš matricos.

8 pavyzdys

Sukurkite matricą į kubą.

Tai nedidelė problema, kurią reikia išspręsti patiems.

Matricos pakėlimas į ketvirtą laipsnį atliekamas natūraliu būdu:

Naudodamiesi matricos daugybos asociatyvumu, gauname dvi darbo formules. Pirma: – tai trijų matricų sandauga.

1) . Kitaip tariant, pirmiausia randame , tada padauginame iš „būti“ - gauname kubą ir galiausiai dar kartą atliekame dauginimą - bus ketvirtoji laipsnė.

2) Tačiau yra vienu žingsniu trumpesnis sprendimas: . Tai yra, pirmame žingsnyje randame kvadratą ir, aplenkdami kubą, atliekame dauginimą

Papildoma 8 pavyzdžio užduotis:

Pakelkite matricą į ketvirtą laipsnį.

Kaip jau minėta, tai galima padaryti dviem būdais:

1) Kadangi kubas žinomas, tada atliekame daugybą.

2) Tačiau jei pagal uždavinio sąlygas reikia sudaryti matricą tik iki ketvirtos galios, tada pravartu sutrumpinti kelią – rasti matricos kvadratą ir naudoti formulę.

Abu sprendimai ir atsakymas yra pamokos pabaigoje.

Panašiai matrica pakeliama į penktąją ir aukštesnes galias. Iš praktinės patirties galiu pasakyti, kad kartais susiduriu su pakėlimu į 4 galią pavyzdžių, bet apie penktąją galią nieko neprisimenu. Bet tik tuo atveju pateiksiu optimalų algoritmą:

1) rasti;
2) rasti ;
3) pakelti matricą į penktą laipsnį: .

Tai, ko gero, yra visos pagrindinės matricos operacijų savybės, kurios gali būti naudingos sprendžiant praktines problemas.

Antroje pamokos dalyje laukiama ne mažiau spalvingos minios.

Matricos išraiškos

Pakartokime įprastus mokyklinius posakius su skaičiais. Skaitinė išraiška susideda iš skaičių, matematinių simbolių ir skliaustų, pavyzdžiui: . Skaičiuojant taikomas pažįstamas algebrinis prioritetas: pirma, skliausteliuose, tada įvykdytas eksponencija / įsišaknijimas, Tada daugyba/dalyba ir paskutinis, bet ne mažiau svarbus dalykas - sudėjimas/atimtis.

Jei skaitinė išraiška turi prasmę, tada jos įvertinimo rezultatas yra skaičius, pavyzdžiui:

Matricos išraiškos veikia beveik taip pat! Su tuo skirtumu, kad pagrindiniai veikėjai yra matricos. Be to, kai kurios specifinės matricos operacijos, pvz., transponavimas ir atvirkštinės matricos suradimas.

Apsvarstykite matricos išraišką , kur yra kai kurios matricos. Šioje matricos išraiškoje trys nariai ir sudėties/atimties operacijos atliekamos paskutinės.

Pirmajame etape pirmiausia turite perkelti matricą „be“: , tada atlikti daugybą ir į gautą matricą įvesti „du“. Atminkite, kad perkėlimo operacija turi didesnį prioritetą nei daugyba. Skliausteliuose, kaip ir skaitinėse išraiškose, pakeičiama veiksmų tvarka: - čia pirmiausia atliekama daugyba, tada gauta matrica perkeliama ir padauginama iš 2.

Antruoju terminu pirmiausia atliekama matricos daugyba, o atvirkštinė matrica randama iš sandaugos. Jei pašalinsite skliaustus: , tada pirmiausia turite rasti atvirkštinę matricą ir tada padauginti matricas: . Matricos atvirkštinės vertės nustatymas taip pat turi viršenybę prieš dauginimą.

Su trečiuoju terminu viskas akivaizdu: matricą pakeliame į kubą ir į gautą matricą įvedame „penkiuką“.

Jei matricos išraiška turi prasmę, tada jos vertinimo rezultatas yra matrica.

Visos užduotys bus iš tikrų testų, o mes pradėsime nuo paprasčiausių:

9 pavyzdys

Duotos matricos . Rasti:

Sprendimas: veiksmų eiliškumas akivaizdus, ​​pirmiausia atliekamas daugyba, po to sudėjimas.

Sudėti negalima, nes matricos yra skirtingų dydžių.

Nenustebkite, atliekant tokio tipo užduotis, dažnai siūlomi neįmanomi veiksmai.

Pabandykime apskaičiuoti antrąją išraišką:

Viskas čia gerai.

Atsakymas: veiksmo atlikti negalima, .

Tiesinė algebra manekenams

Norėdami ištirti tiesinę algebrą, galite perskaityti ir įsigilinti į I. V. Belousovo knygą „Matricos ir determinantai“. Tačiau ji parašyta griežta ir sausa matematine kalba, kurią vidutinio intelekto žmonėms sunku suvokti. Todėl perpasakojau sunkiausiai suprantamas šios knygos dalis, stengdamasis kuo aiškiau pateikti medžiagą, kuo plačiau panaudoti brėžinius. Aš praleidau teoremų įrodymus. Atvirai pasakius, aš pats į juos nesigilinau. Tikiu ponu Belousovu! Sprendžiant iš jo darbo, jis yra kompetentingas ir protingas matematikas. Jo knygą galite atsisiųsti adresu http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Belousov2006ru.pdf Jei ketinate gilintis į mano darbą, turite tai padaryti, nes aš dažnai kreipsiuosi į Belousovą.

Pradėkime nuo apibrėžimų. Kas yra matrica? Tai yra stačiakampė skaičių, funkcijų arba algebrinių išraiškų lentelė. Kodėl reikalingos matricos? Jie labai palengvina sudėtingus matematinius skaičiavimus. Matrica gali turėti eilutes ir stulpelius (1 pav.).

Eilutės ir stulpeliai numeruojami pradedant nuo kairės

iš viršaus (1-1 pav.). Kai jie sako: matrica, kurios dydis yra m n (arba m iš n), jie reiškia m eilučių skaičių, o n - stulpelių skaičių. Pavyzdžiui, 1-1 paveiksle matrica yra 4 x 3, o ne 3 x 4.

Pažvelkite į pav. 1-3, kokios ten matricos. Jei matrica susideda iš vienos eilutės, ji vadinama eilučių matrica, o jei susideda iš vieno stulpelio, tada ji vadinama stulpelių matrica. Matrica vadinama n eilės kvadratu, jei eilučių skaičius lygus stulpelių skaičiui ir lygus n. Jei visi matricos elementai yra lygūs nuliui, tai yra nulinė matrica. Kvadratinė matrica vadinama įstrižaine, jei visi jos elementai yra lygūs nuliui, išskyrus tuos, kurie yra pagrindinėje įstrižainėje.

Iš karto paaiškinsiu, kas yra pagrindinė įstrižainė. Jame esantys eilučių ir stulpelių numeriai yra vienodi. Jis eina iš kairės į dešinę iš viršaus į apačią. (3 pav.) Elementai vadinami įstrižais, jei jie yra pagrindinėje įstrižainėje. Jei visi įstrižainės elementai yra lygūs vienetui (o likusieji yra lygūs nuliui), matrica vadinama tapatybe. Dvi vienodo dydžio matricos A ir B laikomos lygiomis, jei visi jų elementai yra vienodi.

2 Veiksmai su matricomis ir jų savybės

Matricos ir skaičiaus x sandauga yra tokio pat dydžio matrica. Norėdami gauti šį produktą, turite padauginti kiekvieną elementą iš šio skaičiaus (4 pav.). Norint gauti dviejų vienodo dydžio matricų sumą, reikia pridėti atitinkamus jas elementus (4 pav.). Norint gauti dviejų vienodo dydžio matricų skirtumą A - B, reikia matricą B padauginti iš -1 ir gautą matricą pridėti su matrica A (4 pav.). Veiksmams su matricomis galioja šios savybės: A+B=B+A (komutatyvumo savybė).

(A + B)+C = A+(B + C) (asociatyvumo savybė). Paprasčiau tariant, pakeitus terminų vietas, suma nesikeičia. Šios savybės taikomos operacijoms su matricomis ir skaičiais:

(skaičius žymėkite raidėmis x ir y, o matricas – raidėmis A ir B) x(yA)=(xy)A

Šios savybės yra panašios į savybes, taikomas operacijoms su skaičiais. Žiūrėk

pavyzdžiai 5 pav. Taip pat žr. 2.4 - 2.6 pavyzdžius iš Belousovo 9 puslapyje.

Matricos daugyba.

Dviejų matricų daugyba apibrėžiama tik tada, jei (išvertus į rusų kalbą: matricas galima dauginti tik tada, kai) kai pirmosios matricos stulpelių skaičius sandaugoje yra lygus antrosios eilučių skaičiui (7 pav. mėlyni skliaustai). Kad būtų lengviau atsiminti: skaičius 1 labiau primena stulpelį. Daugybos rezultatas yra dydžio matrica (žr. 6 pav.). Kad būtų lengviau atsiminti, ką reikia padauginti iš ko, siūlau tokį algoritmą: žiūrėkite 7 pav. Padauginkite matricą A iš matricos B.

matrica A du stulpeliai,

Matrica B turi dvi eilutes – galite dauginti.

1) Panagrinėkime pirmąjį matricos B stulpelį (tai vienintelė ji turi). Šį stulpelį įrašome į eilutę (transponuoti

stulpelyje apie perkėlimą žemiau).

2) Nukopijuokite šią eilutę, kad gautume A matricos dydžio matricą.

3) Padauginkite šios matricos elementus iš atitinkamų A matricos elementų.

4) Sudedame gautus produktus į kiekvieną eilutę ir gauname dviejų eilučių ir vieno stulpelio produktų matricą.

7-1 paveiksle parodyti didesnio dydžio matricų dauginimo pavyzdžiai.

1) Čia pirmoji matrica turi tris stulpelius, o tai reiškia, kad antroji turi turėti tris eilutes. Algoritmas yra visiškai toks pat kaip ir ankstesniame pavyzdyje, tik čia kiekvienoje eilutėje yra trys terminai, o ne du.

2) Čia antroji matrica turi du stulpelius. Pirmiausia atliekame algoritmą su pirmu stulpeliu, tada su antruoju ir gauname matricą du po du.

3) Čia antrosios matricos stulpelis susideda iš vieno elemento stulpelis dėl perkėlimo nepasikeis. Ir nereikia nieko pridėti, nes pirmoji matrica turi tik vieną stulpelį. Algoritmą atliekame tris kartus ir gauname trijų kartų matricą.

Atsiranda šios savybės:

1. Jei yra suma B + C ir sandauga AB, tai A (B + C) = AB + AC

2. Jei sandauga AB egzistuoja, tai x (AB) = (xA) B = A (xB).

3. Jei sandaugai AB ir BC egzistuoja, tai A (BC) = (AB) C.

Jei matricos sandauga AB egzistuoja, tai matricos sandauga BA gali ir nebūti. Net jei produktai AB ir BA egzistuoja, jie gali pasirodyti skirtingo dydžio matricos.

Abu produktai AB ir BA egzistuoja ir yra vienodo dydžio matricos tik tos pačios eilės kvadratinių matricų A ir B atveju. Tačiau ir šiuo atveju AB gali neprilygti BA.

Eksponentiškumas

Matricos pakėlimas į laipsnį prasmingas tik kvadratinėms matricoms (pagalvokite, kodėl?). Tada matricos A teigiamo sveikojo skaičiaus galia m yra m matricų sandauga, lygi A. Tas pats, kaip ir skaičiams. Kvadratinės matricos A nulinis laipsnis reiškia tokios pat eilės tapatumo matricą kaip A. Jei pamiršote, kas yra tapatumo matrica, pažiūrėkite į Fig. 3.

Kaip ir su skaičiais, galioja šie santykiai:

A mA k=A m+k (A m)k=A mk

Žr. Belousovo pavyzdžius 20 puslapyje.

Matricų perkėlimas

Transponavimas yra matricos A transformacija į matricą AT,

kurioje matricos A eilutės įrašomos į stulpelius AT išlaikant tvarką. (8 pav.). Galite pasakyti kitaip:

Matricos A stulpeliai įrašomi į matricos AT eilutes, išsaugant tvarką. Atkreipkite dėmesį, kaip perkėlimas keičia matricos dydį, tai yra, eilučių ir stulpelių skaičių. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad elementai pirmoje eilutėje, pirmame stulpelyje ir paskutinėje eilutėje, paskutiniame stulpelyje lieka savo vietose.

Galioja šios savybės: (AT )T =A (transponuoti

matrica du kartus - gausite tą pačią matricą)

(xA)T =xAT (x reiškia skaičių, A, žinoma, matricą) (jei reikia padauginti matricą iš skaičiaus ir transponuoti, pirmiausia galite padauginti, tada perkelti arba atvirkščiai )

(A+B)T = AT +BT (AB)T =BT AT

Simetrinės ir antisimetrinės matricos

9 paveiksle, viršuje, kairėje, pavaizduota simetriška matrica. Jo elementai, simetriški pagrindinės įstrižainės atžvilgiu, yra lygūs. O dabar apibrėžimas: Kvadratinė matrica

A vadinamas simetriniu, jei AT =A. Tai reiškia, kad simetriška matrica perkėlus nesikeičia. Visų pirma, bet kokia įstrižainė matrica yra simetriška. (Tokia matrica parodyta 2 pav.).

Dabar pažiūrėkite į antisimetrinę matricą (9 pav., žemiau). Kuo jis skiriasi nuo simetrinio? Atkreipkite dėmesį, kad visi jo įstrižainės elementai yra lygūs nuliui. Antisimetrinėse matricose visi įstrižainiai yra lygūs nuliui. Pagalvok kodėl? Apibrėžimas: vadinama kvadratinė matrica A

antisimetriškas, jei AT = -A. Atkreipkime dėmesį į kai kurias simetrinių ir antisimetrinių operacijų savybes

matricos. 1. Jei A ir B yra simetrinės (antisimetrinės) matricos, tai A + B yra simetrinė (antisimetrinė) matrica.

2.Jei A yra simetrinė (antisimetrinė) matrica, tai xA taip pat yra simetrinė (antisimetrinė) matrica. (iš tikrųjų, jei 9 paveikslo matricas padauginsite iš tam tikro skaičiaus, simetrija vis tiek išliks)

3. Dviejų simetrinių arba dviejų antisimetrinių matricų A ir B sandauga AB yra simetrinė matrica, kai AB = BA, ir antisimetrinė, kai AB = -BA.

4. Jei A yra simetrinė matrica, tai A m (m = 1, 2, 3, ...) yra simetrinė matrica. Jeigu

Antisimetrinė matrica, tada Am (m = 1, 2, 3, ...) yra simetrinė matrica lyginiam m ir antisimetrinė nelyginiam.

5. Savavališka kvadratinė matrica A gali būti pavaizduota kaip dviejų matricų suma. (vadinkime šias matricas, pavyzdžiui, A(s) ir A(a) )

A = A (s) + A (a)

2020 m. liepą NASA pradeda ekspediciją į Marsą. Erdvėlaivis į Marsą pristatys elektroninę laikmeną su visų registruotų ekspedicijos dalyvių pavardėmis.

Jei šis įrašas išsprendė jūsų problemą arba jums jis tiesiog patiko, pasidalykite nuoroda į jį su draugais socialiniuose tinkluose.

Vieną iš šių kodo parinkčių reikia nukopijuoti ir įklijuoti į savo tinklalapio kodą, geriausia tarp žymų ir arba iškart po žymos. Pagal pirmąjį variantą MathJax įkeliamas greičiau ir mažiau sulėtina puslapį. Tačiau antroji parinktis automatiškai stebi ir įkelia naujausias MathJax versijas. Jei įterpsite pirmąjį kodą, jį reikės periodiškai atnaujinti. Jei įterpsite antrą kodą, puslapiai bus įkeliami lėčiau, tačiau jums nereikės nuolat stebėti MathJax atnaujinimų.

Lengviausias būdas prisijungti MathJax yra „Blogger“ arba „WordPress“: svetainės valdymo skydelyje pridėkite valdiklį, skirtą trečiosios šalies „JavaScript“ kodui įterpti, nukopijuokite į jį pirmąją arba antrąją aukščiau pateikto atsisiuntimo kodo versiją ir įdėkite valdiklį arčiau. iki šablono pradžios (beje, tai visai nebūtina, nes MathJax scenarijus įkeliamas asinchroniškai). Tai viskas. Dabar išmokite MathML, LaTeX ir ASCIIMathML žymėjimo sintaksę ir būsite pasirengę įterpti matematines formules į savo svetainės tinklalapius.

Dar viena Naujųjų metų išvakarės... šaltas oras ir snaigės ant lango stiklo... Visa tai paskatino vėl parašyti apie... fraktalus, ir ką apie tai žino Volframas Alfa. Yra įdomus straipsnis šia tema, kuriame yra dvimačių fraktalų struktūrų pavyzdžių. Čia apžvelgsime sudėtingesnius trimačių fraktalų pavyzdžius.

Fraktalas gali būti vizualiai pavaizduotas (apibūdintas) kaip geometrinė figūra arba kūnas (tai reiškia, kad abu yra rinkinys, šiuo atveju taškų rinkinys), kurių detalės turi tokią pačią formą kaip ir pati pradinė figūra. Tai yra, tai yra į save panašus statinys, kurio detales nagrinėjant padidinus pamatysime tokią pat formą kaip ir be padidinimo. Tuo tarpu paprastos geometrinės figūros (ne fraktalo) atveju, padidinus pamatysime detales, kurių forma yra paprastesnė nei pati originali figūra. Pavyzdžiui, esant pakankamai dideliam padidinimui, dalis elipsės atrodo kaip tiesios linijos segmentas. Taip neatsitinka su fraktalais: jiems padidėjus, mes vėl pamatysime tą pačią sudėtingą formą, kuri bus kartojama vėl ir vėl su kiekvienu padidėjimu.

Fraktalų mokslo įkūrėjas Benoit Mandelbrot savo straipsnyje Fraktalai ir menas vardan mokslo rašė: „Fraktalai yra geometrinės figūros, kurių detalės yra tokios pat sudėtingos, kaip ir bendra forma bus padidintas iki visumos dydžio, jis atrodys kaip visuma arba tiksliai, o gal su nedidele deformacija“.

Matrica A -1 vadinama atvirkštine matricos A atžvilgiu, jei A*A -1 = E, kur E yra n-osios eilės tapatumo matrica. Atvirkštinė matrica gali egzistuoti tik kvadratinėms matricoms.

Paslaugos paskirtis. Naudodamiesi šia paslauga internete galite rasti algebrinius papildinius, transponuotą matricą A T, sąjunginę matricą ir atvirkštinę matricą. Sprendimas priimamas tiesiogiai svetainėje (internetu) ir yra nemokamas. Skaičiavimo rezultatai pateikiami ataskaitoje Word ir Excel formatu (t.y. galima patikrinti sprendimą). žr. dizaino pavyzdį.

Instrukcijos. Norint gauti sprendimą, būtina nurodyti matricos matmenis. Tada naujame dialogo lange užpildykite matricą A.

Taip pat žiūrėkite atvirkštinę matricą naudojant Jordano-Gauss metodą

Atvirkštinės matricos radimo algoritmas

Transponuotos matricos A T radimas.

Algebrinių komplementų apibrėžimas. Pakeiskite kiekvieną matricos elementą jo algebriniu papildiniu.

Atvirkštinės matricos sudarymas iš algebrinių priedų: kiekvienas gautos matricos elementas yra padalintas iš pradinės matricos determinanto. Gauta matrica yra atvirkštinė pradinei matricai.

Kitas atvirkštinės matricos paieškos algoritmas panašus į ankstesnį, išskyrus kai kuriuos veiksmus: pirmiausia apskaičiuojami algebriniai papildiniai, o tada nustatoma sąjunginė matrica C.

Nustatykite, ar matrica yra kvadratinė. Jei ne, tada jai nėra atvirkštinės matricos.

Matricos A determinanto apskaičiavimas. Jei jis nelygus nuliui, tęsiame sprendimą, kitaip atvirkštinė matrica neegzistuoja.

Algebrinių komplementų apibrėžimas.

Sąjungos (abipusės, adjungtinės) matricos C užpildymas.

Atvirkštinės matricos sudarymas iš algebrinių priedų: kiekvienas adjungtinės matricos C elementas dalijamas iš pradinės matricos determinanto. Gauta matrica yra atvirkštinė pradinei matricai.

Jie atlieka patikrinimą: padaugina pradines ir gautas matricas. Rezultatas turėtų būti tapatybės matrica.

1 pavyzdys. Parašykime matricą tokia forma:

Algebriniai priedai. ∆ 1,2 = -(2·4-(-2·(-2))) = -4 ∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1 ∆ 3,2 = -(-1·(-2)-2·3) = 4

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Kitas atvirkštinės matricos radimo algoritmas Pateikiame kitą atvirkštinės matricos radimo schemą.

Raskite duotosios kvadratinės matricos A determinantą.

Visiems A matricos elementams randame algebrinius papildymus.

Rašome eilučių elementų algebrinius papildymus į stulpelius (transpoziciją).

Kiekvieną gautos matricos elementą padaliname iš matricos A determinanto.

Kaip matome, transpozicijos operacija gali būti taikoma tiek pradžioje, pradinėje matricoje, tiek pabaigoje, gautose algebrinėse prieduose.

Ypatingas atvejis: Atvirkštinė tapatybės matrica E yra tapatybės matrica E.